浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考

数学（文科）试题卷

参考公式：

球的表面积公式：　　　　　　　  棱柱的体积公式： 

球的体积公式：　　　　　　　　  其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高 

其中R表示球的半径　　　　　　　　　  台体的体积公式：

锥体体积公式：　　　　　　　　　 其中分别表示棱台的上、下底面积，h表示

其中S表示锥体的底面积，h表示　　　　　 棱台的高

锥体的高　　                         

第I卷(选择题 共50分)

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设全集R，集合=，，则            (    )

A．　 B． 　 C．  D．

2．“为锐角”是“”成立的                                             (    ) 

A．充分不必要条件　 　      B．必要不充分条件  

C．充要条件                 D．既不充分又不必要条件

3．设复数，是的共轭复数，则              (    )                               

A．　　　B．   　   C． 　  D．1 

4．若变量满足约束条件，则的最大值是(    )                     

A．0　   　　B．2   　　 C．5   　　  D．6

5．阅读右面的程序框图，则输出的等于                      (    )                                  

A．40   　　 B．38  　   C．32   　   D．20

6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为         (    )  

A．6　     B．       C．        D．4

7．非零向量，的夹角为，且，则的最小值为(    ) 

A．      B．        C．       D．1 

8．函数=R)的部分图像如图所示，

如果，且，则   (    ) 

A．　    B．       C．      D．1

9．已知是椭圆上的一动点，且与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为，则椭圆离心率为                                                               (    )

A．　   B．      C．        D．

10．已知函数，方程有四个实数根，则的取值范围为(    )             

A．  B．   C．  D． 

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11．已知，

则=    ▲ 　． 

12．已知直线与圆

相交于两点，则=    ▲ 　  ．

13．某班50名学生在一次健康体检中，身高

全部介于155与185之间．其身高

频率分布直方图如图所示．则该班级中身高在之间的学生共有   ▲   人．

14．两个袋中各装有编号为1，2，3，4，5的5个小球，分别从每个袋中摸出一个小球，所得两球编号数之和小于5的概率为    ▲ 　  ．

15．已知等比数列的公比为2，前项和为．记数列的前项和为，且满足，则=    ▲ 　  ．

16．若不等式对任意非零实数恒成立，则

实数的最小值为    ▲  　 ． 

17．如图，将菱形沿对角线折起，使得C点至，

点在线段上，若二面角与二面角

的大小分别为30°和45°，则=    ▲ 　 ．

三、解答题（本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18．在中，角所对的边分别为．已知．

（Ⅰ）若．求的面积；

（Ⅱ）求的取值范围．

19．如图，平面平面，是正三角形，，． 

（Ⅰ）求证：； 

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

20．已知等差数列的公差不为零，且，成等比数列．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和．

21．已知函数R)．

（Ⅰ）若，求曲线在点处的的切线方程； 

（Ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围．

22．抛物线上纵坐标为的点到焦点的距离为2．

　 （Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）如图，为抛物线上三点，且线段，， 与轴交点的横坐标依次组成公差为1的等差数列，若的面积是面积的，求直线的方程．

浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考

数学（文科）答案

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)

二、填空题(本大题共7个小题，每小题4分，共28分)

11．2      12．    13．    14．    15．        16．1         17．          

部分解析：

8.  解析：由图知，，，所以

．

9. 解析：设，则，化简得，又在椭圆上，所以，所以，故．

10. 解析：的图像如图所示，极大值；记，

要使得方程有四个零点，则必有两个零点

且，又常数项为1，

所以，故．

15.3  解析：，所以，故=3．

16.1 解析：因为是非零实数，故原不等式可化为恒成立．又，所以的最小值为1．

17.  解析：因为四边形是菱形，所以分别为

平面与平面、平面与平面所成的

二面角的平面角，即；

在中，，

同理，易知

，所以=，     故=．

三、解答题(本大题共5个小题，共72分)

18．（本题14分）

（1）  由三角形正弦定理可得：，

， ……5分            ……7分

（2）……11分

 ，

   ……12分      则    ……14分

19．（本题14分）

（1），且平面平面，交线为 ；

平面                          ……3分

又平面         

                                        ……6分

（2）取的中点，连接． 则，           

     平面，平面平面，

平面平面=，

平面，则为所求线面角；                      ……10分

由已知不妨设：，则           ……12分

，

即直线与平面所成角的正弦值为                   ……14分

20．（本题14分）

（1）解：在等差数列中，设公差为，

，，                   ……2分

化简得，                                 ……4分

                         ……7分

（2）解：        　　 ①

           ②    

   ②-①得： ，                      ……10分

当时，                 ……12分

                                         ……14分

21．（本题15分）

 （Ⅰ）解：当时，．

，                                   ……2分

因为切点为（）， 则，                  ……4分

所以在点（）处的曲线的切线方程为：．    ……5分

（Ⅱ）解法一：由题意得，即．      ……9分

（注：凡代入特殊值缩小范围的均给4分）

，             ……10分

因为，所以恒成立，

故在上单调递增，                            ……12分

要使恒成立，则，解得．……15分

解法二：                 ……7分

      （1）当时，在上恒成立，

故在上单调递增， 

即．                  ……10分

                 （2）当时，令，对称轴，

则在上单调递增，又     

① 当，即时，在上恒成立，

所以在单调递增，

即，不合题意，舍去   ……12分

②当时，， 不合题意，舍去   ……14分

综上所述：                                       ……15分

22．（本题15分）:（Ⅰ）解：设， 则，，

由抛物线定义，得所以．              ……5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线方程为，．

设，， （均大于零）  ……6分

，， 与轴交点的横坐标依次为．

（1）当轴时，直线的方程为，则，不合题意，舍去．

                                                                ……7分

（2）与轴不垂直时，，

设直线的方程为，即，

令得2，同理2，2，                ……10分

因为依次组成公差为1的等差数列，

所以组成公差为2的等差数列．　　　　　　　　　    ……12分

设点到直线的距离为，点到直线的距离为，

因为，所以=2，

所以　　     　……14分

得，即，所以，

所以直线的方程为：              　　       ……15分

解法二：（Ⅰ）同上．      （Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线方程为，．

由题意，设与轴交点的横坐标依次为

设， （均大于零）．                  ……6分

（1）当轴时，直线的方程为，则，不合题意，舍去．

                                                                ……7分

（2）与轴不垂直时，

设直线的方程为，即，

同理直线的方程为，

由　得　

则 所以，                         ……12分

同理，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，     因为，所以=2，

所以  ……14分

化简得，即，

所以直线的方程为：              　　       ……15分